연속확률분포

1. 기본개념

연속확률분포(Continuous Probability Distribution)

연속확률변수는 확률 변수 X가 취할 수 있는 값이 무한한 경우를 의미합니다.

연속확률분포는 이러한 연속확률변수의 확률 분포를 나타냅니다.

연속확률분포에서는 특정한 값 x에 대한 정확한 확률을 구할 수 없습니다.

대신, 특정한 구간 a ≤ x ≤ b 에 대한 확률로 표현됩니다.

 

확률밀도함수(Probability Density Function)

연속확률변수가 주어진 구간 내에 포함될 확률을 출력하는 함수

 

2. 연속확률분포

연속확률분포의 성질

1. 확률 변수 X가 어떠한 구간에 속할 확률은 0과 1사이이다.

2. 확률 변수 X가 값을 가질 수 있는 모든 구간의 확률을 합치면 1이다.

> 단, 각 구간은 배반(서로 겹치는 게 없을 때) 관계일  때 이것이 성립힌다.

1. 확률 변수X가 어떠한 구간[a,b]에 속할 확률은 0과 1 사이

2. 확률 변수 X가 값을 가질 수 있는 모든 구간의 확률을 합치면 1

 

 

균등 분포(Uniform Distribution)

균등 분포는 가장 단순한 연속확률분포로, 특정 구간 내의 값들이 나타날 가능성이 균등합니다.

즉, 모든 확률 변수에 대해 일정한 확률을 가지는 확률 분포입니다.

여기서 X는 a와 b 사이에서 일정한 값을 취하고,  P(a ≤ x ≤ b) = 1입니다.

균등 분포를 따르는 확률 변수 X의 확률밀도함수는 다음과 같습니다. 

 

 

이산 균등 분포 (Discrete Uniform Distribution)

이산 균등 분포는 유한 개의 값들이 나타날 가능성이 균등한 분포입니다.

이산 확률 변수의 모든 가능한 값들이 동일한 확률을 갖는 분포입니다.

 

정규 분포 (Normal Distribution)

정규분포는 연속확률분포 중 가장 널리 알려져 있으며, 자연현상과 사회현상에서 자주 나타나는 분포입니다.

정규분포는 종 모양의 대칭 곡선으로 나타 납니다.

기계 학습 분야에서 자주 등장을 합니다.

 

정규 분포의 특징 

정규분포의 모양은 평균(μ)과 표준편차(σ)로 결정이 됩니다.

정규분포는 종 모양의 대칭 곡선으로 나타나며, 중심 근처에서 높은 확률을 가지며 양쪽 끝으로 갈수록 확률이 점차 낮아집니다.

관측 되는 값은 약 99.73%가 ± 3σ 범위 안에 속합니다.

* 95.45%로 ± 2σ, 68.27%로 ± 1σ

 

정규 분포의 특징 - 평균

평균에 따라서 정규 분포가 좌우로 평행이동 합니다.

평균이 0인 정규 분포와 평군이 2인 정규분표로 비교할수 있습니다.

 

 

정규 분포의 특징 - 분산

분산이 클수록 정규 분포가 옆으로 넓게 퍼지게 됩니다.

분산이 작을 수록 정규 분포는 가파른 모양을 가지게 됩니다.

 

 

정규 분포의 확률밀도함수

공학 분야에서는 가우시안(Gaussian) 분포로 부르기도 합니다.

확률 변수 X의 확률밀도함수가 다음과 같을때, X가 정규분포를 따른다고 한다. 

평균 μ과 분산σ²에 위해 분포의 모양이 결정된다.( −∞ < x < ∞; σ > 0)

 

표준 정규 분포 (Standard Normal Distribution)

표준 정규 분포는 정규 분포 중에서도 특별한 경우로, 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규 분포입니다.

표준 정규 분포는 확률 변수 Z가 평균 0, 표준편차 1을 가지는 분포를 따를 때 사용됩니다.

이 분포는 정규 분포의 특별한 형태로, 다른 모든 정규 분포를 표준화하는 기준이 됩니다.

 

지수 분포 (Exponential Distribution)

주로 대기 시간 또는 특정 사건이 발생할 때까지의 시간 간격을 모델링하는 데 사용됩니다.

- 포아송 분포 / 이산 확률 분포 / 발생 횟수에 대한 확률

- 지수 분포 / 연속 확률 분포 / 대기 시간에 대한 확률